Le système binaire

🤔 Introduction

Les ordinateurs ne comprennent pas les nombres comme nous les utilisons au quotidien. Ils fonctionnent uniquement avec deux valeurs : 0 et 1. Pour cette raison, ils utilisent le système binaire, aussi appelé base 2.

Dans ce cours, nous allons voir :

• comment passer d’un nombre décimal à un nombre binaire ;
• comment passer d’un nombre binaire à un nombre décimal.

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🔢 Les bases de numération

• Le système décimal (base 10) utilise 10 chiffres : de 0 à 9.
• Le système binaire (base 2) utilise seulement 2 chiffres : 0 et 1.

Chaque position d’un chiffre dépend de la base utilisée.

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➡️ Passage d’un nombre décimal à un nombre binaire

Pour convertir un nombre décimal en binaire, on utilise la méthode des divisions successives par 2.

Méthode

1. On divise le nombre par 2.
2. On note le reste (0 ou 1).
3. On recommence avec le quotient obtenu.
4. On s’arrête lorsque le quotient vaut 0.
5. Le nombre binaire est obtenu en lisant les restes de bas en haut.

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Exemple : convertir 21 en binaire

$$21 = 10 \times 2 + 1 \$$ $$10 = 5 \times 2 + 0 \$$ $$5 = 2 \times 2 + 1 \$$ $$2 = 1 \times 2 + 0 \$$ $$1 = 0 \times 2 + 1$$

On lit les restes de bas en haut :

$$21_{10} = 10101_2$$

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⬅️ Passage d’un nombre binaire à un nombre décimal

Pour convertir un nombre binaire en décimal, on utilise les puissances de 2.

Chaque chiffre du nombre binaire est multiplié par une puissance de 2, en commençant par la droite.

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Méthode

1. On numérote les positions à partir de la droite, en commençant par 0.
2. On multiplie chaque bit par $$2^{\text{position}}$$
3. On additionne tous les résultats.

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Exemple : convertir 110 en décimal

$$110_2 = 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0$$

$$= 4 + 2 + 0 = 6$$

Donc :

$$110_2 = 6_{10}$$