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🚀 Exercices Complémentaires — Géolocalisation

À qui s'adresse cette feuille ?

Ces exercices sont destinés aux élèves ayant déjà terminé la feuille d'exercices principale. Ils nécessitent plus de rigueur dans les calculs et une compréhension plus fine des mécanismes de la géolocalisation.

Exercice A : Conversion complète — Degrés, Minutes, Secondes (DMS) ↔ Décimal

Énoncé

Le format DMS (Degrés, Minutes, Secondes) est encore utilisé en cartographie et en navigation.

Partie 1 — Conversion DMS → Décimal

Convertissez les coordonnées suivantes au format décimal (arrondi à 5 décimales) :

Lieu Latitude DMS Longitude DMS
Tour Eiffel 48° 51' 29.6" N 2° 17' 40.2" E
Mont Blanc 45° 49' 57" N 6° 51' 54" E
Cap Finistère (Bretagne) 48° 22' 34" N 4° 46' 48" W

Partie 2 — Conversion Décimal → DMS

Convertissez maintenant ces coordonnées au format DMS (arrondi à la seconde entière) :

  1. 43.29695° N, 5.38107° E
  2. 1.35208° N, 103.81984° E

Questions :

  1. Pour le Cap Finistère, comment interpréter la longitude avec la direction W dans le résultat décimal ?
  2. Vérifiez vos réponses avec Google Maps : entrez directement les coordonnées décimales et identifiez le lieu.
Méthode de conversion

DMS → Décimal :

Décimal = Degrés + (Minutes / 60) + (Secondes / 3600)

Si la direction est S ou W, le résultat décimal est négatif.

Décimal → DMS :

  1. La partie entière donne les degrés
  2. La partie décimale x 60 donne les minutes (partie entière)
  3. La partie décimale des minutes x 60 donne les secondes

Exemple : 48.8584° N

  • Degrés : 48°
  • Minutes : 0.8584 x 60 = 51.504 → 51'
  • Secondes : 0.504 x 60 = 30.24 → 30"
  • Résultat : 48° 51' 30" N

Exercice B : Calcul de distance avec la formule de Haversine

Énoncé

En géolocalisation, calculer la distance entre deux points à la surface de la Terre n'est pas une simple différence de coordonnées, car la Terre est une sphère.

La formule de Haversine permet ce calcul. Elle s'écrit en plusieurs étapes :

Étape 1 — Convertir les coordonnées en radians :
    lat_rad = latitude (°) x (π / 180)
    lon_rad = longitude (°) x (π / 180)
    (π ≈ 3.14159)

Étape 2 — Calculer les différences :
    Δlat = lat2_rad - lat1_rad
    Δlon = lon2_rad - lon1_rad

Étape 3 — Calculer le terme intermédiaire a :
    a = sin(Δlat/2)² + cos(lat1_rad) x cos(lat2_rad) x sin(Δlon/2)²

Étape 4 — Calculer la distance :
    d = 2 x R x arcsin(racine(a))
    avec R = 6 371 km (rayon moyen de la Terre)

Points à utiliser :

Lieu Latitude (°) Longitude (°)
Paris (Tour Eiffel) 48.8584 2.2945
Marseille (Vieux-Port) 43.2965 5.3698

Questions :

  1. Convertissez les latitudes et longitudes de Paris et Marseille en radians.
  2. Appliquez la formule de Haversine pour calculer la distance entre les deux villes. Vous pouvez utiliser la calculatrice scientifique de votre ordinateur.
  3. Comparez votre résultat avec la distance indiquée par Google Maps (itinéraire « à vol d'oiseau »). Quelle est l'écart ? Comment l'expliquer ?
  4. Bonus : Pourquoi ne peut-on pas simplement calculer racine( (lat2 - lat1)² + (lon2 - lon1)² ) pour obtenir une distance en km ?
Valeurs intermédiaires pour vous guider 
lat1_rad = 48.8584 x (π / 180) ≈ 0.85298 rad
lat2_rad = 43.2965 x (π / 180) ≈ 0.75545 rad
lon1_rad =  2.2945 x (π / 180) ≈ 0.04004 rad
lon2_rad =  5.3698 x (π / 180) ≈ 0.09373 rad

La distance attendue est de l'ordre de 660 à 670 km.

Exercice C : Analyse avancée de trames NMEA — Reconstitution de trajet

Énoncé

Voici une séquence de 5 trames NMEA enregistrées toutes les 30 secondes par le GPS d'un randonneur :

$GPGGA,080000.000,4553.920,N,00614.310,E,1,08,0.9,1204.0,M,0.0,M,,*6A
$GPGGA,080030.000,4554.102,N,00614.285,E,1,08,0.9,1215.0,M,0.0,M,,*6B
$GPGGA,080100.000,4554.350,N,00613.970,E,1,08,0.9,1231.0,M,0.0,M,,*6C
$GPGGA,080130.000,4554.612,N,00613.740,E,1,07,1.1,1245.0,M,0.0,M,,*6D
$GPGGA,080200.000,4554.880,N,00613.505,E,1,06,1.2,1258.0,M,0.0,M,,*6E

Questions :

  1. Convertissez les coordonnées de chaque trame du format degrés-minutes au format décimal (arrondi à 4 décimales).
  2. Quelle est la durée totale du trajet enregistré ?
  3. Le randonneur monte-t-il ou descend-il ? Justifiez avec les données d'altitude.
  4. À partir de la trame 4, la qualité du signal change. Comment le voit-on dans les données ? À quoi cela peut-il être dû ?
  5. Bonus : En utilisant Google My Maps, placez les 5 points sur une carte et décrivez le terrain traversé.
Rappel : Structure d'une trame GPGGA 
$GPGGA, HHMMSS.SSS, Lat, N/S, Lon, E/W, Qualité, NbSat, HDOP, Altitude, M, ...
  • HDOP (Horizontal Dilution Of Precision) : indicateur de précision horizontale.
    Une valeur proche de 1 est excellente, au-delà de 2 c'est médiocre.
  • Altitude : exprimée en mètres au-dessus du niveau de la mer.

Exercice D : Trilatération — Raisonnement géométrique

Énoncé

On se place dans un repère 2D simplifié (vue du dessus). Trois antennes relais de téléphonie mobile sont positionnées comme suit :

Antenne Position (x, y) en km
A (0, 0)
B (10, 0)
C (5, 8)

Le téléphone de Mario reçoit les signaux des trois antennes. On mesure les temps de trajet suivants (les signaux se propagent à 300 000 km/s) :

Antenne Temps de trajet
A 0.0000200 s
B 0.0000167 s
C 0.0000233 s

Questions :

  1. Calculez la distance entre Mario et chacune des trois antennes avec la formule :
    distance = vitesse x temps

  2. Pour chaque antenne, écrivez l'équation du cercle de centre l'antenne et de rayon la distance calculée.
    L'équation d'un cercle de centre (a, b) et de rayon r est :
    (x - a)² + (y - b)² = r²

  3. En soustrayant l'équation du cercle A à celle du cercle B, obtenez une équation linéaire en x et y.

  4. En soustrayant l'équation du cercle A à celle du cercle C, obtenez une deuxième équation linéaire.

  5. Résolvez le système de deux équations pour trouver la position (x, y) de Mario.

  6. Vérifiez votre résultat en recalculant les distances depuis le point trouvé vers chaque antenne.

Coup de pouce — Étape 3

En soustrayant les équations des cercles A et B :

Cercle A : x² + y² = rA²
Cercle B : (x - 10)² + y² = rB²

En développant (x - 10)² = x² - 20x + 100, puis en soustrayant :
x² - (x² - 20x + 100) = rA² - rB²
20x - 100 = rA² - rB²

On obtient ainsi une équation linéaire en x uniquement, facile à résoudre !

Exercice E : Vie privée numérique — Étude de cas approfondie

Énoncé

Contexte : En 2018, un journaliste du New York Times a acheté légalement un fichier contenant les données de localisation de millions de smartphones américains sur plusieurs mois. Ces données avaient été collectées par des applications et revendues à des courtiers en données.

En analysant les données d'un seul individu, le journaliste a pu :

  • Reconstituer ses trajets quotidiens domicile / travail
  • Identifier ses rendez-vous médicaux et ses lieux de culte
  • Deviner ses opinions politiques à partir des meetings qu'il avait fréquentés
  • Retrouver son identité complète, sans jamais avoir eu son nom dans le fichier

Questions :

  1. Le fichier de données ne contenait aucun nom. Pourtant, l'identification a été possible. Expliquez comment.
  2. Quelles données, autres que la position, peuvent être déduites d'un historique de localisation ?
  3. En France, quel texte de loi encadre la collecte et l'utilisation des données personnelles, y compris les données de localisation ?
  4. Lorsqu'une application mobile vous demande l'accès à votre localisation, elle peut proposer trois niveaux d'autorisation. Lesquels ? Quel niveau recommandez-vous d'utiliser par défaut ?
  5. Question de synthèse : Rédigez un paragraphe d'environ 8 lignes expliquant pourquoi la géolocalisation, bien qu'utile, constitue un enjeu majeur pour la vie privée, et comment un citoyen numérique responsable peut s'en protéger.
Pistes de réflexion
  • Le concept d'anonymisation et ses limites : les données de position permettent souvent une ré-identification par croisement avec d'autres informations.
  • Le RGPD (Règlement Général sur la Protection des Données) est en vigueur dans l'Union Européenne depuis 2018.
  • Pensez aux notions de consentement, minimisation des données, et droit à l'effacement.

Exercice F : Défi — Encodage et vérification d'une trame NMEA

Énoncé

La dernière partie d'une trame NMEA est une somme de contrôle (checksum), calculée par l'opération XOR sur tous les octets compris entre $ et * (exclus).

Exemple simple :

Trame : $GPGGA,123456.000*2A

  • On calcule le XOR des codes ASCII de : G, P, G, G, A, ,, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ., 0, 0, 0
  • Le résultat 2A est affiché en hexadécimal après *

Travail à faire :

Voici une trame NMEA avec une somme de contrôle incorrecte :

$GPRMC,120000.000,A,4836.5375,N,00220.9133,E,0.00,0.00,050326,,,A*5F
  1. Identifiez la chaîne sur laquelle calculer le XOR (entre $ et *).
  2. En utilisant le tableau ASCII disponible sur asciitable.com, retrouvez le code décimal de chaque caractère.
  3. Calculez le XOR successif de tous ces codes. (Rappel : XOR bit à bit, opération logique « ou exclusif »)
  4. Convertissez le résultat en hexadécimal.
  5. La somme de contrôle 5F inscrite dans la trame est-elle correcte ? Quelle est la valeur attendue ?
Rappel sur le XOR

Le XOR (ou exclusif) bit à bit fonctionne ainsi :

A B A XOR B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Exemple : G (71 = 0100 0111) XOR P (80 = 0101 0000) = 0001 0111 = 23

Pour vérifier votre calcul final, vous pouvez utiliser un calculateur XOR en ligne.

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